Homology of the configuration spaces of quasi-equilateral polygon linkages

Abstract

We consider the configuration space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M Subscript n comma r"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M_{n,r}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of quasi-equilateral polygon linkages with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> vertices each edge having length <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1"> <mml:semantics> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> except for one fixed edge having length <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="r left-parenthesis r greater-than-or-equal-to 0 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mspace width="thickmathspace"/> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">r \; (r \geq 0)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in the Euclidean plane <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper R squared period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbf {R}^{2}.</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> In this paper, we determine <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Subscript asterisk Baseline left-parenthesis upper M Subscript n comma r Baseline semicolon bold upper Z right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H_{\ast }(M_{n,r}; \mathbf {Z})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .