A Hurewicz spectral sequence for homology

Abstract

For any connected space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper X"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathbf {X}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and ring <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R"> <mml:semantics> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , we describe a first-quadrant spectral sequence converging to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="ModifyingAbove upper H With tilde Subscript asterisk Baseline left-parenthesis bold upper X semicolon upper R right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> ~ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\tilde H_*}({\bf {X}};R)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , whose <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E squared"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{E^2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -term depends only on the homotopy groups of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper X"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathbf {X}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and the action of the primary homotopy operations on them. We show that (for simply connected <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold upper X"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathbf {X}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> ) the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E squared"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{E^2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -term vanishes below a line of slope <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 slash 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1/2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> ; computing part of the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E squared"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{E^2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -term just above this line, we find a certain periodicity, which shows, in particular, that this vanishing line is best possible. We also show how the differentials in this spectral sequence can be used to compute certain Toda brackets.