Prescribing the Jacobian determinant in Sobolev spaces

Abstract

Let Ω be a bounded domain in \mathrm R^n with regular boundary. In this paper, we study the equations of the type \det (∇ u (x)) = f in Ω and u (x) = x on ∂Ω where f lies in some Sobolev spaces. We establish some existence and non-existence results. A discussion of general cases is also included. Résumé Soit Ω un domaine borné régulier de \mathrm R^n . Dans cet article, nous allons étudier les équations du type \det (∇ u (x)) = f dans Ω et u (x) = x sur ∂Ω avec f appartenant à certains espaces de Sobolev. Nous établissons quelques résultats d′existence et de non-existence. Une discussion pour des cas généraux est aussi incluse.