A priori interior gradient bounds for solutions to elliptic Weingarten equations

Abstract

In this paper a maximum principle approach is used to derive a priori interior gradient bounds for smooth solutions to the Weingarten equations f(\mathrm{\lambda }) = \sum \limits_{i_{1}\: < \:i_{2}\: < \:…\: < i_{k}}\mathrm{\lambda }_{i_{1}}…\mathrm{\lambda }_{i_{k}} = \mathrm{\psi }(x,\:u,\:v). Here λ = (λ_1, …, λ_n) is the vector of principal curvatures of the graph of u at a point (x, u(x)) on the graph, with downward normal v . One requires a one-sided height bound (u < 0) , natural structure conditions on the prescribed function ψ , and the restriction that all λ lie in a certain cone of eigenvalues for which f is elliptic. The result generalizes what is known to be true for the prescribed mean curvature equation ( k = 1 ). Résumé Dans cet article une méthode de principe du maximum est employée pour dériver une majoration a priori des gradients intérieurs pour les solutions C^3 d’équations elliptiques de Weingarten: f(\mathrm{\lambda }) = \sum \limits_{i_{1}\: < \:i_{2}\: < \:…\: < i_{k}}\mathrm{\lambda }_{i_{1}}…\mathrm{\lambda }_{i_{k}} = \mathrm{\psi }(x,\:u,\:v). ici λ = (λ_1, …, λ_n) est le vecteur des courbatures du graphe de u au point (x, u(x)) de ce graphe avec un normal (vers le bas) v . Il faut avoir une majoration (u < 0) , des conditions naturelles sur la fonction ψ , et la contrainte que tous les λ se situent dans un certain cône de valeurs propres pour lesquelles f est elliptique. Ce résultat généralise ce qui est connu dans le cas de l’équation de la courbature moyenne ( k = 1 ).