Uniform bounds for quotients of Green functions on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> -domains

Abstract

Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:msubsup> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mfrac> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> be elliptic operators with Hölder continuous coefficients on a bounded domain <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> of class <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> . There is a constant <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> depending only on the Hölder norms of the coefficients of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:math> and its constant of ellipticity such that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msubsup> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mspace width="4pt"/> <mml:mtext>on</mml:mtext> <mml:mspace width="4pt"/> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> (resp. <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> ) are the Green functions of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Δ</mml:mi> </mml:math> (resp. <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:math> ) on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> .