Convergence of classes of high-order semi-Lagrangian schemes for the Vlasov–Poisson system

Abstract

In this paper we present some classes of high-order semi-Lagran- gian schemes for solving the periodic one-dimensional Vlasov-Poisson system in phase-space on uniform grids. We prove that the distribution function <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f left-parenthesis t comma x comma v right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f(t,x,v)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and the electric field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E left-parenthesis t comma x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E(t,x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> converge in the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L squared"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L^2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> norm with a rate of <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper O left-parenthesis normal upper Delta t squared plus h Superscript m plus 1 Baseline plus StartFraction h Superscript m plus 1 Baseline Over normal upper Delta t EndFraction right-parenthesis comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">O</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {O}\left (\Delta t^2 +h^{m+1}+ \frac {h^{m+1}}{\Delta t}\right ),</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m"> <mml:semantics> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the degree of the polynomial reconstruction, and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Delta t"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Delta t</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h"> <mml:semantics> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">h</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are respectively the time and the phase-space discretization parameters.