Global higher integrability of Jacobians on bounded domains

Abstract

We give conditions for a vector-valued function u \in W^{1,n}(Ω, ℝ^n) , satisfying \operatorname{det} Du(x) ≥ 0 on a bounded domain Ω , which imply that \operatorname{det} Du(x) is globally higher integrable on Ω . We also give conditions for u \in W^{1,n}(Ω, ℝ^n) such that \operatorname{det} Du belongs to the Hardy space h^1_z(Ω) and exhibit some examples which show that our conditions are in some sense optimal. Applications to the weak convergence of Jacobians follow. Div-curl type extensions of these results to forms are also considered. Résumé Pour une fonction à valeurs vectorielles u \in W^{1,n}(Ω, ℝ^n) telle que \operatorname{det} Du(x) ≥ 0 dans un ouvert borné Ω , nous donnons des conditions conduisant à une amélioration de l'intégrabilité globale de \operatorname{det} Du(x) dans un ouvert borné Ω . Nous donnons aussi des conditions sur u \in W^{1,n}(Ω, ℝ^n) pour que \operatorname{det} Du(x) appartienne à l'espace de Hardy h^1_z(Ω) . Quelques exemples démontrent que ces conditions sont dans un certain sens optimales. Ces résultats sont appliqués à la convergence faible des jacobiens. Nous examinons aussi l'extension de ces résultats du type div-curl aux formes différentielles.