Sobolev orthogonal polynomials and spectral differential equations

Abstract

We find necessary and sufficient conditions for a spectral differential equation <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Subscript upper N Baseline left-bracket y right-bracket left-parenthesis x right-parenthesis equals sigma-summation Underscript i equals 1 Overscript upper N Endscripts script l Subscript i Baseline left-parenthesis x right-parenthesis y Superscript left-parenthesis i right-parenthesis Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals lamda Subscript n Baseline y left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo movablelimits="false"> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi> ℓ </mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{L_N}[y](x) = \sum \limits _{i = 1}^N {{\ell _i}(x){y^{(i)}}(x) = {\lambda _n}y(x)}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> to have Sobolev orthogonal polynomials of solutions, which are orthogonal relative to the Sobolev (pseudo-) inner product <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi left-parenthesis p comma q right-parenthesis equals integral Subscript double-struck upper R Superscript Baseline p q d mu plus integral Subscript double-struck upper R Superscript Baseline p prime q prime d v comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo> ∫ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"/> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo> ∫ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"/> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi (p,q) = \int _\mathbb {R}^{} {pqd\mu + \int _\mathbb {R}^{} {p’q’dv,} }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d mu"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi> μ </mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d\mu</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d v"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">dv</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are signed Borel measures having finite moments. This result generalizes a result by H. L. Krall, which handles the case when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d v equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">dv = 0</mml:annotation>