Kruzkov’s estimates for scalar conservation laws revisited

Abstract

We give a synthetic statement of Kružkov-type estimates for multi-dimensional scalar conservation laws. We apply it to obtain various estimates for different approximation problems. In particular we recover for a model equation the rate of convergence in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h Superscript 1 slash 4"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">h^{1/4}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> known for finite volume methods on unstructured grids. Nous donnons un énoncé synthétique des estimations de type de Kružkov pour les lois de conservation scalaires multidimensionnelles. Nous l’appliquons pour obtenir d’estimations nombreuses pour problèmes différents d’approximation. En particulier, nous retrouvons pour une équation modèle la vitesse de convergence en <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h Superscript 1 slash 4"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">h^{1/4}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> connue pour les méthodes de volumes finis sur des maillages non structurés.