A note on 𝑝-hyponormal operators

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T"> <mml:semantics> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -hyponormal operator on a Hilbert space with polar decomposition <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T equals upper U StartAbsoluteValue upper T EndAbsoluteValue"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T=U|T|</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T overTilde equals StartAbsoluteValue upper T EndAbsoluteValue Superscript t Baseline upper U StartAbsoluteValue upper T EndAbsoluteValue Superscript r minus t"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo> ~ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\widetilde T=|T|^{t}U|T|^{r-t}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="r greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">r&gt;0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="r greater-than-or-equal-to t greater-than-or-equal-to 0 period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>0.</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">r \geq t \geq 0.</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> We study order and spectral properties of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T overTilde period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo> ~ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\widetilde {T}.</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> In particular we refine recent Furuta’s result on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -hyponormal operators.