Convergence of paths and approximation of fixed points of asymptotically nonexpansive mappings

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E"> <mml:semantics> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a real Banach space with a uniformly Gâteaux differentiable norm possessing uniform normal structure, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a nonempty closed convex and bounded subset of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E"> <mml:semantics> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T colon upper K long right-arrow upper K"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> ⟶ </mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T: K \longrightarrow K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be an asymptotically nonexpansive mapping with sequence <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-brace k Subscript n Baseline right-brace Subscript n Baseline subset-of left-bracket 1 comma normal infinity right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo> ⊂ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\{k_n\}_n\subset [1, \infty )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u element-of upper K"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u\in K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be fixed, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-brace t Subscript n Baseline right-brace Subscript n Baseline subset-of left-parenthesis 0 comma 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo> ⊂ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\{t_n\}_n \subset (0, 1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="limit Underscript n right-arrow normal infinity Endscripts t Subscript n Baseline equals 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo form="prefix">lim</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lim \limits _{n\to \infty }t_n = 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="t Subscript n Baseline k Subscript n Baseline greater-than 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">t_nk_n &gt; 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="limit Underscript n right-arrow normal infinity Endscripts StartFraction k Subscript n Baseline minus 1 Over k Subscript n Baseline minus t Subscript n Baseline EndFraction equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo form="prefix">lim</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞