On the definition and the lower semicontinuity of certain quasiconvex integrals

Abstract

Let us consider vector-valued functions u:\mathrm{\Omega }\rightarrow \mathrm{ℝ}^{\mathrm{N}} , defined in an open bounded set \mathrm{\Omega } \subset \mathrm{ℝ}^{n} . Let f(x, ξ) be a continuous function in \mathrm{\Omega }\: \times \:\mathrm{ℝ}^{n\mathrm{N}} , quasiconvex with respect on ξ , that satisfies, for some p ≦ q , the growth conditions c_1|ξ|^p ≦ f(x, ξ) ≦ c_2(1 + |ξ|^q) . The integral \mathrm{I}(u) = \int _{\mathrm{\Omega }}f(x,\mathrm{D}u(x))dx is well defined if u \in \mathrm{H}^{1,q}(\mathrm{\Omega }\:;\mathrm{ℝ}^{\mathrm{N}}) . We extend the integral \mathrm I(u) to functions u \in \mathrm{H}^{1,p}(\mathrm{\Omega }\:;\mathrm{ℝ}^{\mathrm{N}}) , and we study its lower semicontinuity in the weak topology of \mathrm{H}^{1,p}(\mathrm{\Omega }\:;\mathrm{ℝ}^{\mathrm{N}}) , in order to obtain existence of minima. Résumé Soit \mathrm{\Omega } \subset \mathrm{ℝ}^{n} un ouvert borné et soit u:\mathrm{\Omega }\rightarrow \mathrm{ℝ}^{\mathrm{N}} . Soit f(x, ξ) une fonction continue sur \mathrm{\Omega }\: \times \:\mathrm{ℝ}^{n\mathrm{N}} , quasi-convexe en ξ et qui satisfait à la condition c_{1}\left|\xi \right|^{p}≦f(x,\xi )≦c_{2}(1 + \left|\xi \right|^{q}) avec p ≦ q . L’intégrale \mathrm{I}(u) = \int _{\mathrm{\Omega }}f(x,\mathrm{D}u(x))dx est bien définie si u \in \mathrm{H}^{1,q}(\mathrm{\Omega }\:;\mathrm{ℝ}^{\mathrm{N}}) . On étend l’intégrale \mathrm I(u) aux fonctions u \in \mathrm{H}^{1,p}(\mathrm{\Omega }\:;\mathrm{ℝ}^{\mathrm{N}}) et on étudie la semi-continuité dans la topologie faible de \mathrm{H}^{1,p}(\mathrm{\Omega }\:;\mathrm{ℝ}^{\mathrm{N}}) pour obtenir l’existence de minimum.