Properties of pseudoholomorphic curves in symplectisations I: Asymptotics

Abstract

Given an oriented, compact, 3-dimenional contact manifold (M,λ) we study maps \tilde u= (a,u):ℂ\rightarrow ℝ \times M satisfying the Cauchy–Riemann type equation \tilde u_{s} + \tilde J(\tilde u)\tilde u_{t} = 0 , with a very special almost complex structure \tilde J related to the contact form λ on M . If the energy is positive and bounded, 0\: < \: E(\tilde u)\: < \:∞ , then the asymptotic behavior of u: ℂ → M as |z| → ∞ is intimately related to the dynamics of the Reeb vector field X_λ on M . Assuming the periodic solutions of X_λ to be non degenerate, we shall show that \lim _{R\rightarrow ∞}\:u(\mathrm{R}\mathrm{e}^{2\pi it}) = x(Tt) for a T -periodic solution x with E(\tilde u)\: = \:T . The main result is an asymptotic formula which demonstrates the exponential nature of this limit. Some consequences for the geometry of the maps u : ℂ → M are deduced. Résumé Étant donnée (M,λ) une variété de type contact, compacte, orientée et de dimension trois, nous étudions les applications \tilde u= (a,u):ℂ\rightarrow ℝ \times M solutions de l’équation de type Cauchy–Riemann \tilde u_{s} + \tilde J(\tilde u)\tilde u_{t} = 0 où \tilde J est une structure presque complexe très particulière, reliée à la forme de contact λ définie sur M . Lorsque l’énergie est positive et bornée, 0\: < \: E(\tilde u)\: < \:∞ , le comportement asymptotique d’une solution u: ℂ → M quand |z| → ∞ , est intimement lié à la dynamique du champ de Reeb X_λ défini sur M . Supposant que les orbites périodiques de X_λ sont non dégénérées, nous allons montrer que lorsque R → ∞ , \lim u(\mathrm{R}\mathrm{e}^{2πit}) = x(Tt) , où x est une orbite T -périodique de X_λ vérifiant T\: = \:E(\tilde u) . Le principal résultat de cet article est une formule asymptotique qui établit la nature exponentielle de cette limite. On en déduit certaines conséquences pour la géométrie des solutions u : ℂ → M .