An integro-differential equation with application in heat flow

Abstract

The problem <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u Subscript t Baseline left-parenthesis x comma t right-parenthesis equals integral Subscript 0 Superscript t Baseline a left-parenthesis t minus tau right-parenthesis StartFraction partial-differential Over partial-differential x EndFraction sigma left-parenthesis u Subscript x Baseline left-parenthesis x comma tau right-parenthesis right-parenthesis d tau plus f left-parenthesis x comma t right-parenthesis comma 0 greater-than x greater-than 1 comma t greater-than 0 comma u left-parenthesis 0 comma t right-parenthesis identical-to u left-parenthesis 1 comma t right-parenthesis identical-to 0 u left-parenthesis x comma 0 right-parenthesis equals u 0 left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>τ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>τ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="2em"/> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="2em"/> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace linebreak="newline"/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace width="2em"/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{u_t}\left ( {x, t} \right ) = \int _0^t {} a\left ( {t - \tau } \right )\frac {\partial }{{\partial x}}\sigma \left ( {{u_x}\left ( {x,\tau } \right )} \right )d\tau + f\left ( {x, t} \right ), \qquad 0 &gt; x &gt; 1, \qquad t &gt; 0, \\ u\left ( {0,t} \right ) \equiv u\left ( {1,t} \right ) \equiv 0 \qquad u\left ( {x, 0} \right ) = {u_0}\left ( x \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> is considered. Asymptotic stability theorems for the solution are established under appropriate conditions on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a"> <mml:semantics> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma"> <mml:semantics> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\sigma</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f"> <mml:semantics> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. The conditions on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a"> <mml:semantics> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are of frequency domain type and are related to ones used previously in the study of Volterra integral equations, <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="ModifyingAbove u With dot equals minus integral Subscript 0 Superscript t Baseline a left-parenthesis t minus tau right-parenthesis g left-parenthesis u left-parenthesis tau right-parenthesis right-parenthesis d tau plus f left-parenthesis t right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>τ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\dot u = - \int _0^t a \left ( {t - \tau } \right )g\left ( {u\left ( \tau \right )} \right )d\tau + f\left ( t \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> on a Hilbert space. An existence theorem for the problem is established under smallness assumptions on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f"> <mml:semantics> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u 0"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{u_0}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> This theorem is related to one by Nishida for the damped non-linear wave equation, <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u Subscript t t Baseline plus alpha u Subscript t Baseline minus StartFraction partial-differential Over partial-differential x EndFraction sigma left-parenthesis u Subscript x Baseline right-parenthesis equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant=