Lp regularity of velocity averages

Abstract

In this article, we present some general regularity results for “velocity averages” i. e. averages in ν of functions f(x, v) for which (v.∇_x f) has some given regularity. We are able to cover general regularity classes for both f and (v.∇_x f) and we thus extend various known results. Our methods of proof rely on Littlewood–Paley type decompositions, interpolation arguments and a spectral decomposition adapted to the “velocity direction”. Résumé Nous présentons dans cet article des résultats généraux de régularité de moyennes en vitesse (c’est-à-dire de moyennes en ν ) de fonctions f(x, v) pour lesquelles (v.∇_x f) a une certaine régularité. Nos résultats permettent des classes de régularité générales pour f et (v.∇_x f) , généralisant ainsi plusieurs résultats antérieurs. Notre méthode de preuve repose sur les décompositions de type Littlewood–Paley, des arguments d’interpolation et une décomposition spectrale adaptée à la « direction des vitesses ».