Some new restricted maximal operators of Fejér means of Walsh–Fourier series

Abstract

Abstract In this paper, we derive the maximal subspace of natural numbers $$\left\{ n_{k}:k\ge 0\right\} ,$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mfenced> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> such that the restricted maximal operator, defined by $${\sup }_{k\in {\mathbb {N}}}\left| \sigma _{n_{k}}F\right| $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>sup</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> on this subspace of Fejér means of Walsh–Fourier series is bounded from the martingale Hardy space $$H_{1/2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> to the Lebesgue space $$L_{1/2}.$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> The sharpness of this result is also proved.