On superquadratic elliptic systems

Abstract

In this article we study the existence of solutions for the elliptic system <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row minus normal upper Delta u equals StartFraction partial-differential upper H Over partial-differential v EndFraction left-parenthesis u comma v comma x right-parenthesis in normal upper Omega comma 2nd Row minus normal upper Delta v equals StartFraction partial-differential upper H Over partial-differential u EndFraction left-parenthesis u comma v comma x right-parenthesis in normal upper Omega comma 3rd Row u equals 0 comma v equals 0 on partial-differential normal upper Omega period EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>in</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mspace width="thickmathspace"/> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>in</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mspace width="thickmathspace"/> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>on</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mspace width="thickmathspace"/> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin {array}{*{20}{c}} { - \Delta u = \frac {{\partial H}}{{\partial v}}(u,v,x)\quad {\text {in}}\;\Omega ,} \\ { - \Delta v = \frac {{\partial H}}{{\partial u}}(u,v,x)\quad {\text {in}}\;\Omega ,} \\ {u = 0,\quad v = 0\quad {\text {on}}\;\partial \Omega .} \\ \end {array}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a bounded open subset of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R Superscript upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathbb {R}^N}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with smooth boundary <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="partial-differential normal upper Omega"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω