On superquadratic elliptic systems

Abstract

In this article we study the existence of solutions for the elliptic system <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row minus normal upper Delta u equals StartFraction partial-differential upper H Over partial-differential v EndFraction left-parenthesis u comma v comma x right-parenthesis in normal upper Omega comma 2nd Row minus normal upper Delta v equals StartFraction partial-differential upper H Over partial-differential u EndFraction left-parenthesis u comma v comma x right-parenthesis in normal upper Omega comma 3rd Row u equals 0 comma v equals 0 on partial-differential normal upper Omega period EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>in</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mspace width="thickmathspace"/> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>in</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mspace width="thickmathspace"/> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>on</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mspace width="thickmathspace"/> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin {array}{*{20}{c}} { - \Delta u = \frac {{\partial H}}{{\partial v}}(u,v,x)\quad {\text {in}}\;\Omega ,} \\ { - \Delta v = \frac {{\partial H}}{{\partial u}}(u,v,x)\quad {\text {in}}\;\Omega ,} \\ {u = 0,\quad v = 0\quad {\text {on}}\;\partial \Omega .} \\ \end {array}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a bounded open subset of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R Superscript upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathbb {R}^N}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with smooth boundary <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="partial-differential normal upper Omega"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\partial \Omega</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and the function <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H colon double-struck upper R squared times normal upper Omega overbar right-arrow double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">¯</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H:{\mathbb {R}^2} \times \bar \Omega \to \mathbb {R}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, is of class <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C Superscript 1"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{C^1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We assume the function <italic>H</italic> has a superquadratic behavior that includes a Hamiltonian of the form <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H left-parenthesis u comma v right-parenthesis equals StartAbsoluteValue u EndAbsoluteValue Superscript alpha Baseline plus StartAbsoluteValue v EndAbsoluteValue Superscript beta Baseline where 1 minus StartFraction 2 Over upper N EndFraction greater-than StartFraction 1 Over alpha EndFraction plus StartFraction 1 Over beta EndFraction greater-than 1 with alpha greater-than 1 comma beta greater-than 1 period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>where</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mspace width="thickmathspace"/> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mspace width="thickmathspace"/> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>with</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mspace width="thickmathspace"/> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1.</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H(u,v) = |u{|^\alpha } + |v{|^\beta }\quad {\text {where}}\;1 - \frac {2}{N} &gt; \frac {1}{\alpha } + \fra