Edge irregular reflexive labeling of some tree graphs

Abstract

Abstract Let G be a connected, simple, and undirected graph with a vertex set V ( G ) and an edge set E ( G ). Total k -labeling is a function f e from the edge set to the first k e natural number, and a function f v from the vertex set to the non negative even number up to 2k v , where k = max { k e , 2 k v }. An edge irregular reflexive k labeling of the graph G is the total k -labeling, if for every two different edges x 1 x 2 and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="0.25"/> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>e</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . The minimum k for graph G which has an edge irregular reflexive k -labelling is called the reflexive edge strength of the graph G , denoted by res ( G ). In this paper, we determined the exact value of the reflexive edge strength of family trees, namely generalized sub-divided star graph, broom graphs, and double star graph.