Symmetry and classification of solutions to an integral equation of the Choquard type

Abstract

We study the integral equation <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo linebreak="badbreak" linebreakstyle="after">=</mml:mo> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="false">∫</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo linebreak="badbreak" linebreakstyle="after">−</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo linebreak="badbreak" linebreakstyle="after">−</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="false">∫</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo linebreak="badbreak" linebreakstyle="after">−</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo linebreak="badbreak" linebreakstyle="after">−</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mspace width="0.2em"/> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mspace width="0.2em"/> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:math> where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo linebreak="goodbreak" linebreakstyle="after">&lt;</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo linebreak="goodbreak" linebreakstyle="after">&lt;</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo linebreak="goodbreak" linebreakstyle="after">+</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo linebreak="goodbreak" linebreakstyle="after">=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo linebreak="badbreak" linebreakstyle="after">+</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo linebreak="badbreak" linebreakstyle="after">+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo linebreak="badbreak" linebreakstyle="after">−</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:math> . We prove that all positive <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo linebreak="badbreak" linebreakstyle="after">−</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> solutions to the equation are radially symmetric and monotone decreasing about some point, and we classify all such solutions when <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo linebreak="goodbreak" linebreakstyle="after">+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo linebreak="goodbreak" linebreakstyle="after">=</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo linebreak="goodbreak" linebreakstyle="after">=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo linebreak="badbreak" linebreakstyle="after">+</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo linebreak="badbreak" linebreakstyle="after">−</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:math> . As a consequence, we derive similar results for positive <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml: