Positivity and vanishing theorems for ample vector bundles

Abstract

In this paper, we study the Nakano-positivity and dual-Nakano- positivity of certain adjoint vector bundles associated to ample vector bundles. As applications, we get new vanishing theorems about ample vector bundles. For example, we prove that if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E"> <mml:semantics> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is an ample vector bundle over a compact Kähler manifold <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S Superscript k Baseline upper E circled-times det upper E"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">det</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S^kE\otimes \det E</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is both Nakano-positive and dual-Nakano-positive for any <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k greater-than-or-equal-to 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k\geq 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Moreover, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Superscript n comma q Baseline left-parenthesis upper X comma upper S Superscript k Baseline upper E circled-times det upper E right-parenthesis equals upper H Superscript q comma n Baseline left-parenthesis upper X comma upper S Superscript k Baseline upper E circled-times det upper E right-parenthesis equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">det</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">det</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H^{n,q}(X,S^kE\otimes \det E)=H^{q,n}(X,S^kE\otimes \det E)=0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for any <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q greater-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q\geq 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. In particular, if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper E comma h right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(E,h)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a Griffiths-positive vector bundle, the naturally induced Hermitian vector bundle <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper S Superscript k Baseline upper E circled-times det upper E comma upper S Superscript k Baseline h circled-times det h right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">det</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">det</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(S^kE\otimes \det E, S^kh\otimes \det h)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is both Nakano-positive and dual-Nakano-positive for any <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k greater-than-or-equal-to 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k\geq 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.