Level one algebraic cusp forms of classical groups of small rank

Abstract

We determine the number of level <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1"> <mml:semantics> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , polarized, algebraic regular, cuspidal automorphic representations of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="GL Subscript n"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>GL</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\textrm {GL}_n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> over <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper Q"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {Q}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of any given infinitesimal character, for essentially all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n less-than-or-equal-to 8"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mn>8</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n \leq 8</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . For this, we compute the dimensions of spaces of level <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1"> <mml:semantics> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> automorphic forms for certain semisimple <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper Z"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {Z}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -forms of the compact groups <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="SO Subscript 7"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>SO</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mn>7</mml:mn> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\textrm {SO}_7</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="SO Subscript 8"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>SO</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mn>8</mml:mn> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\textrm {SO}_8</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="SO Subscript 9"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>SO</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mn>9</mml:mn> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\textrm {SO}_9</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G Subscript 2"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>G</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\textrm {G}_2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> ) and determine Arthur’s endoscopic partition of these spaces in all cases. We also give applications to the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="121"> <mml:semantics> <mml:mn>121</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">121</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> even lattices of rank <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="25"> <mml:semantics> <mml:mn>25</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">25</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and determinant <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2"> <mml:semantics> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> found by Borcherds, to level one self-dual automorphic representations of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="GL Subscript n"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>GL</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\textrm {GL}_n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with trivial infinitesimal character, and to vector valued Siegel modular forms of genus <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="3"> <mml:semantics> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . A part of our results are conditional to certain expected results in the theory of twisted endoscopy.