Nonlocal perturbations of the fractional Choquard equation

Abstract

Abstract We study the equation <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mo>-</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mi>s</m:mi> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mi>V</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>I</m:mi> <m:mi>α</m:mi> </m:msub> <m:mo>*</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mo fence="true" stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo fence="true" stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mi>p</m:mi> </m:msup> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mo fence="true" stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo fence="true" stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>I</m:mi> <m:mi>β</m:mi> </m:msub> <m:mo>*</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mo fence="true" stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo fence="true" stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mi>q</m:mi> </m:msup> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mo fence="true" stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo fence="true" stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>q</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo mathvariant="italic" separator="true"> </m:mo> <m:mrow> <m:mtext>in </m:mtext> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msup> <m:mi>ℝ</m:mi> <m:mi>N</m:mi> </m:msup> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:math> (-\Delta)^{s}u+V(x)u=(I_{\alpha}*\lvert u\rvert^{p})\lvert u\rvert^{p-2}u+% \lambda(I_{\beta}*\lvert u\rvert^{q})\lvert u\rvert^{q-2}u\quad\text{in }{% \mathbb{R}}^{N}, where <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>I</m:mi> <m:mi>γ</m:mi> </m:msub> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mo fence="true" stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo fence="true" stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>-</m:mo> <m:mi>γ</m:mi> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> </m:math> {I_{\gamma}(x)=\lvert x\rvert^{-\gamma}} for any <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>γ</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>N</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> <jats:tex-mat