The elementary symmetric functions of a reciprocal polynomial sequence

Abstract

Erdös and Niven proved in 1946 that for any positive integers m and d , there are at most finitely many integers n for which at least one of the elementary symmetric functions of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">/</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">/</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">/</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> are integers. Recently, Wang and Hong refined this result by showing that if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>⩾</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:math> , then none of the elementary symmetric functions of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">/</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">/</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">/</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> is an integer for any positive integers m and d . Let f be a polynomial of degree at least 2 and of nonnegative integer coefficients. In this paper, we show that none of the elementary symmetric functions of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">/</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">/</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">/</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> is an integer except for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>⩾</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:math> being an integer and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> .