Entire holomorphic curves into projective spaces intersecting a generic hypersurface of high degree

Abstract

In this note, we establish the following Second Main Theorem type estimate for every algebraically nondegenerate entire curve <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo lspace="0pt">:</mml:mo> <mml:mi>ℂ</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℙ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ℂ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , in presence of a generic divisor <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℙ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ℂ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> of sufficiently high degree <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>15</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> : for every <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:math> outside a subset of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ℝ</mml:mi> </mml:math> of finite Lebesgue measure and every real positive constant <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>δ</mml:mi> </mml:math> , we have <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mfenced close=")" open="(" separators=""> <mml:mo form="prefix">log</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo form="prefix">log</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> stand for the order function and the <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> -truncated counting function in Nevanlinna theory. This inequality quantifies recent results on the logarithmic Green–Griffiths conjecture.