Existence of multiple solutions of <i>p</i> -fractional Laplace operatorwith sign-changing weight function

Abstract

Abstract In this article, we study the following p -fractional Laplacian equation: <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:msub> <m:mi>P</m:mi> <m:mi>λ</m:mi> </m:msub> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mspace/> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>2</m:mn> <m:msub> <m:mo>∫</m:mo> <m:msup> <m:mi>ℝ</m:mi> <m:mi>n</m:mi> </m:msup> </m:msub> <m:mfrac> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>y</m:mi> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>-</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>y</m:mi> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>-</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>|</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mi>y</m:mi> <m:mo>|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>p</m:mi> <m:mi>α</m:mi> </m:mrow> </m:msup> </m:mfrac> <m:mrow> <m:mi>d</m:mi> <m:mi>y</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mi>λ</m:mi> <m:mo>|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>b</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>β</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mspace/> <m:mtext>in</m:mtext> <m:mspace/> <m:mi>Ω</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace/> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mspace/> <m:mtext>in</m:mtext> <m:mspace/> <m:msup> <m:mi>ℝ</m:mi> <m:mi>n</m:mi> </m:msup> <m:mo>∖</m:mo> <m:mi>Ω</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace/> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:msup> <m:mi>W</m:mi> <m:mrow> <m:mi>α</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:msup> <m:mi>ℝ</m:mi> <m:mi>n</m:mi> </m:msup> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:math> $ (P_{\lambda }) \quad -2\int _{\mathbb {R}^n}\frac{|u(y)-u(x)|^{p-2}(u(y)-u(x))}{|x-y|^{n+p\alpha }} dy = \lambda |u(x)|^{p-2} u(x) + b(x)|u(x)|^{\beta -2}u(x) \quad \text{in } \Omega , \quad u = 0 \quad \text{in }\mathbb {R}^n \setminus \Omega ,\, u\in W^{\alpha ,p}(\mathbb {R}^n), $ where Ω is a bounded domain in ℝ n with smooth boundary, n &gt; p α, p ≥ 2, α ∈ (0,1), λ &gt; 0 and b : Ω ⊂ ℝ n → ℝ is a sign-changing continuous function. We show the existence and multiplicity of non-negative solutions of ( P λ ) with respect to the parameter λ, which changes according to whether 1 &lt; β &lt; p or p &lt; β &lt; p * with