Fourier analysis and expanding phenomena in finite fields

Abstract

In this paper we study set expansion in finite fields. Fourier analytic proofs are given for several results recently obtained by other authors using spectral graph theory. In addition, several generalizations of these results are given. In the case that<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"><mml:semantics><mml:mi>A</mml:mi><mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>is a subset of a prime field<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper F Subscript p"><mml:semantics><mml:msub><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb F_p</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>of size less than<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p Superscript 1 slash 2"><mml:semantics><mml:msup><mml:mi>p</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>/</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:annotation encoding="application/x-tex">p^{1/2}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>it is shown that<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue left-brace a squared plus b colon a comma b element-of upper A right-brace EndAbsoluteValue greater-than-or-equal-to upper C 1 StartAbsoluteValue upper A EndAbsoluteValue Superscript 147 slash 146"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mn>147</mml:mn><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>/</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>146</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">|\{a^2+b:a,b \in A\}|\geq C_1 |A|^{147/146}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>and<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue left-brace StartFraction b plus 1 Over a EndFraction colon a comma b element-of upper A right-brace EndAbsoluteValue greater-than-or-equal-to upper C 2 StartAbsoluteValue upper A EndAbsoluteValue Superscript 110 slash 109"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mn>110</mml:mn><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>/</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>109</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">|\{\frac {b+1}{a}:a,b \in A\}|\geq C_2 |A|^{110/109}</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>, where<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue dot EndAbsoluteValue"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>⋅</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">|\cdot |</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>denotes the cardinality of a set and<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C 1"><mml:semantics><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:annotation encoding="application/x-tex">C_1</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>and<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C 2"><mml:semantics><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:annotation encoding="application/x-tex">C_2</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>are absolute constants.