Uniform lower bound for the least common multiple of a polynomial sequence

Abstract

Let n be a positive integer and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> be a polynomial with nonnegative integer coefficients. We prove that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">lcm</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">⌈</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">⌉</mml:mo> <mml:mo>⩽</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>⩽</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mo>⩾</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> , except that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:math> and that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> , with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>⩾</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:math> being an integer and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> , where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mo stretchy="false">⌈</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">⌉</mml:mo> </mml:math> denotes the smallest integer, which is not less than <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:math> . This improves and extends the lower bounds obtained by M. Nair in 1982, B. Farhi in 2007 and S.M. Oon in 2013.