A rescaled expansiveness for flows

Abstract

We introduce a new version of expansiveness for flows. Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a compact Riemannian manifold without boundary and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C Superscript 1"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C^1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> vector field on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> that generates a flow <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi Subscript t"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varphi _t</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We call <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <italic>rescaling expansive</italic> on a compact invariant set <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Lamda"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal">Λ</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Lambda</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> if for any <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="epsilon greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\epsilon &gt;0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> there is <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="delta greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\delta &gt;0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that, for any <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x comma y element-of normal upper Lamda"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x,y\in \Lambda</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and any time reparametrization <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="theta colon double-struck upper R right-arrow double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\theta :\mathbb {R}\to \mathbb {R}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d left-parenthesis phi Subscript t Baseline left-parenthesis x right-parenthesis comma phi Subscript theta left-parenthesis t right-parenthesis Baseline left-parenthesis y right-parenthesis right-parenthesis less-than-or-equal-to delta double-vertical-bar upper X left-parenthesis phi Subscript t Baseline left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis double-vertical-bar"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false">‖</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d(\varphi _t(x), \varphi _{\theta (t)}(y))\le \delta \|X(\varphi _t(x))\|</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="t element-of double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">t\in \mathbb R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi Subscript theta left-parenthesis t right-parenthesis Baseline left-parenthesis y right-parenthesis element-of phi Subscript left-bracket negative epsilon comma epsilon right-bracket Baseline left-parenthesis phi Subscript t Baseline left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varphi _{\theta (t)}(y)\in \varphi _{[-\epsilon , \epsilon ]}(\varphi _t(x))</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="t element-of double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">t\in \mathbb R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We prove that every multisingular hyperbolic set (singular hyperbolic set in particular) is rescaling expansive and that a converse holds generically.