Higher Order Corrections to the Mean-Field Description of the Dynamics of Interacting Bosons

Abstract

Abstract In this paper, we introduce a novel method for deriving higher order corrections to the mean-field description of the dynamics of interacting bosons. More precisely, we consider the dynamics of N $$d$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> -dimensional bosons for large N . The bosons initially form a Bose–Einstein condensate and interact with each other via a pair potential of the form $$(N-1)^{-1}N^{d\beta }v(N^\beta \cdot )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>v</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>β</mml:mi></mml:msup><mml:mo>·</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> for $$\beta \in [0,\frac{1}{4d})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> . We derive a sequence of N -body functions which approximate the true many-body dynamics in $$L^2({\mathbb {R}}^{dN})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>dN</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> -norm to arbitrary precision in powers of $$N^{-1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:math> . The approximating functions are constructed as Duhamel expansions of finite order in terms of the first quantised analogue of a Bogoliubov time evolution.