A Model of Type Theory in Cubical Sets

Abstract

La théorie singulière classique utilise des simplexes; dans la suite de ce chapitre, nous aurons besoin d’une définition équivalente, mais utilisant des cubes; il est en effet évident que ces derniers se prêtent mieux que les simplexes à l’étude des produits directs, et, a fortiori, des espaces fibrés qui en sont la généralisation. (J.P. Serre, Thèse, Paris, 1951 [20]). We present a model of type theory with dependent product, sum, and identity, in cubical sets. We describe a universe and explain how to transform an equivalence between two types in an equality. We also explain how to model propositional truncation and the circle. While not expressed internally in type theory, the model is expressed in a constructive metalogic. Thus it is a step towards a computational interpretation of Voevodsky’s Univalence Axiom.