Decay characterization of solutions to the viscous Camassa–Holm equations

Abstract

Abstract In this paper we study the decay characterization in the space <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mstyle> </mml:math> of solutions to the viscous Camassa–Holm equations (VCHE) in the whole space <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mstyle> </mml:math> ( <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mstyle> </mml:math> ), namely, where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>⩽</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mstyle> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:msup> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mstyle> </mml:math> is the decay character of the initial datum <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mstyle> </mml:math> . We also get the optimal lower bounds for decay rates of solutions to VCHE when <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>⩽</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mstyle> </mml:math> . In particular, when <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mstyle> </mml:math> has decay character <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mstyle displaystyle="false"> <mml:msup> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi>