Existence results for Schrödinger–Choquard–Kirchhoff equations involving the fractional <i>p</i>-Laplacian

Abstract

Abstract The paper is concerned with existence of nonnegative solutions of a Schrödinger–Choquard–Kirchhoff-type fractional p -equation. As a consequence, the results can be applied to the special case <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>a</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mi>b</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mo>∥</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>∥</m:mo> </m:mrow> <m:mi>s</m:mi> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>θ</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:msubsup> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo>[</m:mo> <m:mrow> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mo>-</m:mo> <m:mi>Δ</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mi>s</m:mi> </m:msubsup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mi>V</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>]</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>f</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mo>∫</m:mo> <m:msup> <m:mi>ℝ</m:mi> <m:mi>N</m:mi> </m:msup> </m:msub> <m:mrow> <m:mpadded> <m:mfrac> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>|</m:mo> </m:mrow> <m:msubsup> <m:mi>p</m:mi> <m:mrow> <m:mi>μ</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>s</m:mi> </m:mrow> <m:mo>*</m:mo> </m:msubsup> </m:msup> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>|</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>-</m:mo> <m:mi>y</m:mi> </m:mrow> <m:mo>|</m:mo> </m:mrow> <m:mi>μ</m:mi> </m:msup> </m:mfrac> </m:mpadded> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo>𝑑</m:mo> <m:mi>y</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow>