On oscillatory fourth order nonlinear neutral differential equations – III

Abstract

Abstract In this paper, several sufficient conditions for oscillation of all solutions of fourth order functional differential equations of neutral type of the form <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mtable><m:mtr><m:mtd><m:mstyle><m:mrow><m:mo>(</m:mo></m:mrow><m:mi>r</m:mi><m:mo>(</m:mo><m:mi>t</m:mi><m:mo>)</m:mo><m:mo>(</m:mo><m:mi>y</m:mi><m:mo>(</m:mo><m:mi>t</m:mi><m:mo>)</m:mo><m:mo>+</m:mo><m:mi>p</m:mi><m:mo>(</m:mo><m:mi>t</m:mi><m:mo>)</m:mo><m:mi>y</m:mi><m:mo>(</m:mo><m:mi>t</m:mi><m:mo>−</m:mo><m:mi>τ</m:mi><m:mo>)</m:mo><m:msup><m:mo>)</m:mo><m:mo>″</m:mo></m:msup><m:msup><m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>″</m:mo></m:msup><m:mo>+</m:mo><m:mi>q</m:mi><m:mo>(</m:mo><m:mi>t</m:mi><m:mo>)</m:mo><m:mi>G</m:mi><m:mrow><m:mo>(</m:mo></m:mrow><m:mi>y</m:mi><m:mo>(</m:mo><m:mi>t</m:mi><m:mo>−</m:mo><m:mi>σ</m:mi><m:mo>)</m:mo><m:mrow><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>=</m:mo><m:mn>0</m:mn></m:mstyle></m:mtd></m:mtr></m:mtable></m:math> $$\begin{array}{} \displaystyle \bigl(r(t)(y(t)+p(t)y(t-\tau))''\bigr)''+q(t)G\bigl(y(t-\sigma)\bigr)=0 \end{array}$$ are studied under the assumption <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mtable><m:mtr><m:mtd><m:mstyle><m:munderover><m:mo>∫</m:mo><m:mrow><m:mn>0</m:mn></m:mrow><m:mrow><m:mi>∞</m:mi></m:mrow></m:munderover><m:mfrac><m:mi>t</m:mi><m:mrow><m:mi>r</m:mi><m:mo>(</m:mo><m:mi>t</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mfrac><m:mrow><m:mi>d</m:mi></m:mrow><m:mi>t</m:mi><m:mo>=</m:mo><m:mi>∞</m:mi></m:mstyle></m:mtd></m:mtr></m:mtable></m:math> $$\begin{array}{} \displaystyle \int\limits^{\infty}_{0}\frac{t}{r(t)}{\rm d} t =\infty \end{array}$$