Morrey spaces and generalized Cheeger sets

Abstract

Abstract We maximize the functional <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:mfrac><m:mrow><m:msub><m:mo>∫</m:mo><m:mi>E</m:mi></m:msub><m:mrow><m:mi>h</m:mi><m:mo>⁢</m:mo><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>x</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:mo>⁢</m:mo><m:mrow><m:mo>𝑑</m:mo><m:mi>x</m:mi></m:mrow></m:mrow></m:mrow><m:mrow><m:mi>P</m:mi><m:mo>⁢</m:mo><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>E</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:mfrac><m:mo>,</m:mo></m:mrow></m:math> \frac{\int_{E}h(x)\,dx}{P(E)}, where <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:mi>E</m:mi><m:mo>⊂</m:mo><m:mover><m:mi>Ω</m:mi><m:mo>¯</m:mo></m:mover></m:mrow></m:math> {E\subset\overline{\Omega}} is a set of finite perimeter, Ω is an open bounded set with Lipschitz boundary and h is nonnegative. Solutions to this problem are called generalized Cheeger sets in Ω . We show that the Morrey spaces <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:msup><m:mi>L</m:mi><m:mrow><m:mn>1</m:mn><m:mo>,</m:mo><m:mi>λ</m:mi></m:mrow></m:msup><m:mo>⁢</m:mo><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>Ω</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:math> {L^{1,\lambda}(\Omega)} , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:mi>λ</m:mi><m:mo>≥</m:mo><m:mrow><m:mi>n</m:mi><m:mo>-</m:mo><m:mn>1</m:mn></m:mrow></m:mrow></m:math> {\lambda\geq n-1} , are natural spaces to study this problem. We prove that if <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:mi>h</m:mi><m:mo>∈</m:mo><m:mrow><m:msup><m:mi>L</m:mi><m:mrow><m:mn>1</m:mn><m:mo>,</m:mo><m:mi>λ</m:mi></m:mrow></m:msup><m:mo>⁢</m:mo><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>Ω</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:mrow></m:math> {h\in L^{1,\lambda}(\Omega)} , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:mi>λ</m:mi><m:mo>&gt;</m:mo><m:mrow><m:mi>n</m:mi><m:mo>-</m:mo><m:mn>1</m:mn></m:mrow></m:mrow></m:math> {\lambda&gt;n-1} , then generalized Cheeger sets exist. We also study the embedding of Morrey spaces into <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:msup><m:mi>L</m:mi><m:mi>p</m:mi></m:msup></m:math> {L^{p}} spaces. We show that, for any <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:mn>0</m:mn><m:mo>&lt;</m:mo><m:mi>λ</m:mi><m:mo>&lt;</m:mo><m:mi>n</m:mi></m:mrow></m:math> {0&lt;\lambda&lt;n} , the Morrey space <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:msup><m:mi>L</m:mi><m:mrow><m:mn>1</m:mn><m:mo>,</m:mo><m:mi>λ</m:mi></m:mrow></m:msup><m:mo>⁢</m:mo><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>Ω</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:math> {L^{1,\lambda}(\Omega)} is not contained in any <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:msup><m:mi>L</m:mi><m:mi>q</m:mi></m:msup><m:mo>⁢</m:mo><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>Ω</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:math> {L^{q}(\Omega)} , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:mn>1</m:mn><m:mo>&lt;</m:mo><m:mi>q</m:mi><m:mo>&lt;</m:mo><m:mi>p</m:mi><m:mo>=</m:mo><m:mfrac><m:mi>n</m:mi><m:mrow><m:mi>n</m:mi><m:mo>-</m:mo><m:mi>λ</m:mi></m:mrow></m:mfrac></m:mrow></m:math> {1&lt;q&lt;p=\frac{n}{n-\lambda}} . We also show that if <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:mi>h</m:mi><m:mo>∈</m:mo><m:mrow><m:msup><m:mi>L</m:mi><m:mrow><m:mn>1</m:mn><m:mo>,</m:mo><m:mi>λ</m:mi></m:mrow></m:msup><m:mo>⁢</m:mo><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>Ω</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:mrow></m:math> {h\in L^{1,\lambda}(\Omega)} , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:mi>λ</m:mi><m:mo>&gt;</m:mo><m:mrow><m:mi>n</m:mi><m:mo>-</m:mo><m:mn>1</m:mn></m:mrow></m:mrow></m:math> {\lambda&gt;n-1} , then the reduced boundary in Ω of a generalized Cheeger set is <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:msup><m:mi>C</m:mi><m:mrow><m:mn>1</m:mn><m:mo>,</m:mo><m:mi>α</m:mi></m:mrow></m:msup></m:math> {C^{1,\alpha}} and the singular set has Hausdorff dimension at most <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:mi>n</m:mi><m:mo>-</m:mo><m:mn>8</m:mn></m:mrow></m:math> {n-8} (empty if <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:mi>n</m:mi><m:mo>≤</m:mo><m:mn>7</m:mn></m:mrow></m:math> {n\leq 7} ). For the critical case <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:mi>h</m:mi><m:mo>∈</m:mo><m:mrow><m:msup><m:mi>L</m:mi><m:mrow><m:mn>1</m:mn><m:mo>,</m:mo><m:mrow><m:mi>n</m:mi><m:mo>-</m:mo><m:mn>1</m:mn></m:mrow></m:mrow></m:msup><m:mo>⁢</m:mo><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:mi>Ω</m:mi><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:mrow></m:math> {h\in L^{1,n-1}(\Omega)} , we demonstrate that this strong regularity fails. We prove that a bounded generalized Cheeger set E in <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:msup><m:mi>ℝ</m:mi><m:mi>n</m:mi></m:msup></m:math> {\mathbb{R}^{n}} with <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><m:mrow><m:mi>h</m:mi><m:mo>∈</m:mo><m:mrow><m:msup><m:mi>L</m:mi><m:mn>1</m:mn></m:msup><m:mo>⁢</m:mo><m:mrow><m:mo>(</m:mo><m:msup><m:mi>ℝ</m:mi><m:mi>n</m:mi></m:msup><m:mo>)</m:mo></m:mrow></m:mrow></m:mrow></m:math> {h\in L^{1}(\mathbb{R}^{n})} is always pseudoconvex, and any pseudoconvex set is a generalized Cheeger set for some h .