On the singular limit in a phase field model of phase transitions

Abstract

The limits of families of stable solutions for the equation ε^2 Δu_ε − f(u_ε) + T(|x|) = 0 over radially symmetric domains with no-flux boundary conditions are discribed. Particular emphasis is placed on the characterization of points of discontinuity of these limits (interfaces) and on the description of the graph of u_ε for small ε . Sufficient conditions for existence of interfaces in terms of the temperature function, T , are given. The analysis is more complete for families of global minimizers of the associated energy functional. Résumé On étudie les limites de familles de solutions stables de l’équation ε^2 Δu_ε − f(u_ε) + T(|x|) − 0 sur des domaines à symétrie radiale sans flux au bord. On s’attache particulièrement à caractériser les points de discontinuité de ces limites (interfaces) et à décrire le graphe de u_ε pour petit ε . On donne des conditions suffisantes sur la température T pour qu’il existe des interfaces. On analyse de manière plus approfondie les familles minimisant l’énergie totale.