Compactifications and universal spaces in extension theory

Abstract

We show that for each countable simplicial complex <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P"> <mml:semantics> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the following conditions are equivalent: <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P element-of upper A upper E left-parenthesis upper X right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P \in AE(X)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> iff <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P element-of upper A upper E left-parenthesis beta upper X right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi> β </mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P \in AE(\beta X)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for any space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . There exists a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P"> <mml:semantics> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -invertible map of a metrizable compactum <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P element-of upper A upper E left-parenthesis upper X right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P \in AE(X)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> onto the Hilbert cube.