Regularity and projective dimension of the edge ideal of 𝐶₅-free vertex decomposable graphs

Abstract

In this paper, we explain the regularity, projective dimension and depth of the edge ideal of some classes of graphs in terms of invariants of graphs. We show that for a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C 5"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C_5</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -free vertex decomposable graph <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="reg left-parenthesis upper R slash upper I left-parenthesis upper G right-parenthesis right-parenthesis equals c Subscript upper G Baseline"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mml:mtext>reg</mml:mtext> </mml:mstyle> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mbox {reg}(R/I(G))= c_G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c Subscript upper G"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">c_G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the maximum number of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="3"> <mml:semantics> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -disjoint edges in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Moreover, for this class of graphs we characterize <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="pd left-parenthesis upper R slash upper I left-parenthesis upper G right-parenthesis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mml:mtext>pd</mml:mtext> </mml:mstyle> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mbox {pd}(R/I(G))</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="depth left-parenthesis upper R slash upper I left-parenthesis upper G right-parenthesis right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mml:mtext>depth</mml:mtext> </mml:mstyle> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mbox {depth}(R/I(G))</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . As a corollary we describe these invariants in forests and sequentially Cohen-Macaulay bipartite graphs.