Function-theoretic solution to a class of dual integral equations and an application to diffraction theory

Abstract

Dual integral equations of the type <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="integral Subscript 0 Superscript normal infinity Baseline u Superscript lamda Baseline f left-parenthesis u right-parenthesis upper J Subscript mu Baseline left-parenthesis r u right-parenthesis d u equals g left-parenthesis r right-parenthesis comma 0 greater-than r greater-than 1 comma integral Subscript 0 Superscript normal infinity Baseline u left-parenthesis u squared plus a squared right-parenthesis Superscript negative 1 slash 2 Baseline f left-parenthesis u right-parenthesis upper J Subscript v Baseline left-parenthesis r u right-parenthesis d u equals h left-parenthesis r right-parenthesis comma 1 greater-than r greater-than normal infinity comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo> ∫ </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi> λ </mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi> μ </mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace linebreak="newline"/> <mml:msubsup> <mml:mo> ∫ </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\int _0^\infty {{u^\lambda }f\left ( u \right ){J_\mu }\left ( {ru} \right )du = g\left ( r \right ),0 &gt; r &gt; 1, \\ \int _0^\infty u {{\left ( {{u^2} + {a^2}} \right )}^{ - 1/2}}f\left ( u \right ){J_v}\left ( {ru} \right )du = h\left ( r \right ),} 1 &gt; r &gt; \infty ,</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="g left-parenthesis r right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">g\left ( r \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h left-parenthesis r right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mrow>