Use of classical variational principles to determine bounds for the effective bulk modulus in heterogeneous media

Abstract

Bounds are here derived for the effective bulk modulus in heterogeneous media, denoted by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k asterisk"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k*</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , using the two standard variational principles of elasticity. As trial functions for the stress and strain fields we use perturbation expansions that have been modified by the inclusion of a set of multiplicative constants. The first order perturbation effect is explicitly calculated and bounds for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k asterisk"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k*</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are derived in terms of the correlation functions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mathematical left-angle mu prime left-parenthesis 0 right-parenthesis k prime left-parenthesis r right-parenthesis k prime left-parenthesis s right-parenthesis mathematical right-angle"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\left \langle {\mu ’(0)k’(r)k’(s)} \right \rangle</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mathematical left-angle left-bracket k prime left-parenthesis r right-parenthesis k prime left-parenthesis s right-parenthesis slash mu left-parenthesis 0 right-parenthesis right-bracket mathematical right-angle"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\left \langle {\left [ {k’(r)k’(s)/\mu (0)} \right ]} \right \rangle</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu prime"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mu ’</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k prime"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k’</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are the fluctuating parts of the shear modulus <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu"> <mml:semantics> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mu</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and the bulk modulus, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , respectively. Explicit calculations are given for two phase media when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu prime left-parenthesis x right-parenthesis equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mu ’(x) = 0</mml:annotation> </mml:se