Minimal interface criterion for phase transitions in mixtures of Cahn–Hilliard fluids

Abstract

In this paper we extend the Van der Waals–Cahn–Hilliard theory of phase transitions to the case of a mixture of n non-interacting fluids. By describing the state of the mixture as given by a vector density function u = (u_1, …, u_n) , the problem consists in studying the asymptotic behaviour as \mathrm{\varepsilon }\rightarrow 0^{ + } of minimizers of the energy functionals: \mathrm{E}_{\mathrm{\varepsilon }}\left(u\right) = \int _{\mathrm{\Omega }}|\mathrm{\varepsilon }^{2}|\mathrm{D}u|^{2} + \mathrm{W}(u)|\mathrm{dx} under the volume constraint \int _{\mathrm{\Omega }}u(x)\:dx = m , with m\in \mathbf R^n fixed. The function W , which represents the Gibbs free energy, is non-negative and vanishes only in a finite number of points α_1, …, α_k\in \mathbf R^n . The result is that the minimizers asymptotically approach a configuration which corresponds to a partition of the container Ω into k subsets whose boundaries satisfy a minimality condition. Résumé Dans cet article nous étendons la théorie des transitions de phase de Van der Waals–Cahn–Hilliard au cas d’un mélange de n fluides non intérageants. En supposant l’état du mélange décrit par une fonction vectorielle de densité u = (u_1, …, u_n) , le problème consistera dans l’étude du comportement asymptotique par \mathrm{\varepsilon }\rightarrow 0^{ + } des minimisants des énergies : \mathrm{E}_{\mathrm{\varepsilon }}\left(u\right) = \int _{\mathrm{\Omega }}|\mathrm{\varepsilon }^{2}|\mathrm{D}u|^{2} + \mathrm{W}(u)|\mathrm{dx} sous la contrainte de volume \int _{\mathrm{\Omega }}u(x)\:dx = m , avec m\in \mathbf R^n fixé. La fonction W représente l’énergie libre de Gibbs, à valeurs non négatives et qui est nulle sur un nombre fini de points α_1, …, α_k \in \mathbf R^n . Nous obtenons alors que les minimisants approchent asymptotiquement une configuration qui corresponds à une partition du container Ω en k sous-ensembles dont les bords satisfont à une certaine condition de minimalité.