Positive solutions of fractional elliptic equation with critical and singular nonlinearity

Abstract

Abstract In this article, we study the following fractional elliptic equation with critical growth and singular nonlinearity: <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mo>-</m:mo> <m:mi>Δ</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mi>s</m:mi> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo>-</m:mo> <m:mi>q</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mn>2</m:mn> <m:mi>s</m:mi> <m:mo>*</m:mo> </m:msubsup> <m:mo>-</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>&gt;</m:mo> <m:mrow> <m:mn>0</m:mn> <m:mo> </m:mo> <m:mrow> <m:mtext>in </m:mtext> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>Ω</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mn>0</m:mn> <m:mo> </m:mo> <m:mrow> <m:mrow> <m:mtext>in </m:mtext> <m:mo>⁢</m:mo> <m:msup> <m:mi>ℝ</m:mi> <m:mi>n</m:mi> </m:msup> </m:mrow> <m:mo>∖</m:mo> <m:mi>Ω</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:math> (-\Delta)^{s}u=u^{-q}+\lambda u^{{2^{*}_{s}}-1},\qquad u&gt;0\quad\text{in }% \Omega,\qquad u=0\quad\text{in }\mathbb{R}^{n}\setminus\Omega, where Ω is a bounded domain in <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msup> <m:mi>ℝ</m:mi> <m:mi>n</m:mi> </m:msup> </m:math> {\mathbb{R}^{n}} with smooth boundary <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo>∂</m:mo> <m:mo>⁡</m:mo> <m:mi>Ω</m:mi> </m:mrow> </m:math> {\partial\Omega} , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi> <m:mo>&gt;</m:mo> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>s</m:mi> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {n&gt;2s} , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mn>1</m:mn> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {s\in(0,1)} , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> <m:mo>&gt;</m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> </m:math> {\lambda&gt;0} , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>q</m:mi> <m:mo>&gt;</m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> </m:math> {q&gt;0} and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mn>2</m:mn> <m:mi>s</m:mi> <m:mo>*</m:mo> </m:msubsup> <m:mo>=</m:mo> <m:mfrac> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mi>n</m:mi> </m:mrow>