On subsemigroups of semisimple Lie groups

Abstract

In this paper, we consider a real connected semisimple Lie group G and ask whether or not a subset S of G generates G as a semigroup. We deal with the special case where S is infinitesimally generated, i.e., S =\{\mathrm{exp}\,t X|X \in \Sigma, t \in \mathbb{R}_+\} for some subset \Sigma of L , the Lie algebra of G . In the case where \Sigma is a symmetric subset of L (i.e., \Sigma = −\Sigma ), this is equivalent to the fact that S generates G as a group. It is also known, by an old result of Kuranishi, that S generates G as soon as \Sigma is a symmetric subset of L of the form {\pm X, \pm Y} for generic pairs (X, Y) in L \times L . In the case where \Sigma = {X, Y} , almost nothing is known, except in the compact case where Kuranishi’s result still holds. We deal with the intermediate case where \Sigma = {X, \pm Y} . This case is specially important in control theory, where such sets \Sigma apear naturally through control systems of the “classical control-affine form \dot{x} = X(x) + u Y(x) ”. A theorem is proven, which is the final form of several results in a series of papers of all of the authors. This theorem improves on all these results. Résumé Dans cet article, on considère un groupe de Lie réel connexe semi-simple G et on se demande quand est-ce qu’une partie S de G engendre G en tant que semigroupe. On s’intéresse au cas particulier où S est infinitésimalement engendré, i.e., S = { \mathrm{exp}\,t X|X \in \Sigma, t \in \mathbb{R}_+ }, par une partie \Sigma de L , l’algèbre de Lie de G . Dans le cas οù \Sigma est une partie symétrique de L (i.e., \Sigma = −\Sigma ) ceci est équivalent au fait que S engendre G comme un groupe. On sait, par un résultat de Kuranishi, que S engendre G dès que \Sigma est une partie symétrique de la forme {\pm X, \pm Y} pour une paire générique dans L \times L . Dans le cas οù \Sigma = {X, Y} , on ne sait presque rien sauf dans le cas compact où le résultat de Kuranishi est toujours vrai. On s’intéresse au cas intermédiaire où \Sigma = {X, \pm Y} . Ce cas est particulièrement important dans la théorie du contrôle (systèmes affines classiques du type \dot{x} = X(x) + u Y(x) . Un théorème est démontré. Il est la forme finale de certains résultats d’une série d’articles des auteurs. Ce théorème implique tous les résultats précédents.