Maximum principles and a priori estimates for a class of problems from nonlinear elasticity

Abstract

We consider smooth solutions, \mathscr U , to the nonlinear elliptic system associated with a two dimensional elastic material which has energy functional \mathscr W(\mathscr U)=\int_\Omega \Big( \frac{|D\mathscr U|^2}2 + H(\operatorname{det} D\mathscr U)\Big) dX The function H(d) is nonnegative, convex and unbounded in a neighborhood of zero. Two maximum principles are proved for D\mathscr U and we show that if Ω'\Subset Ω then \Vert D\mathscr U \Vert_{C^\alpha(\Omega')} and \Vert D\mathscr U^{-1} \Vert_{L^\infty(\Omega')} are bounded a priori in terms of \Vert D\mathscr U \Vert_{L^p(\Omega')} and \mathscr W(\mathscr U) for some p = p(H) . Résumé On considère une solution régulière \mathscr U du système elliptique non linéaire associé à la fonctionnelle d’énergie \mathscr W(\mathscr U)=\int_\Omega \Big( \frac{|D\mathscr U|^2}2 + H(\operatorname{det} D\mathscr U)\Big) dX en dimension 2, la fonction H étant positive, convexe, et H(t) → + ∞ quand t → 0_+ . On démontre deux principes du maximum et une estimation de D\mathscr U à l’intérieur de Ω .