The Dirichlet problem for the biharmonic equation in a Lipschitz domain

Abstract

In this paper we study and give optimal estimates for the Dirichlet problem for the biharmonic operator <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> , on an arbitrary bounded Lipschitz domain <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:math> in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> . We establish existence and uniqueness results when the boundary values have first derivatives in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , and the normal derivative is in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . The resulting solution <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:math> takes the boundary values in the sense of non-tangential convergence, and the non-tangential maximal function of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is shown to be in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> .