Some nonexistence results for a semirelativistic Schrödinger equation with nongauge power type nonlinearity

Abstract

We consider the following semirelativistic nonlinear Schrödinger equation (SNLS): <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout Enlarged left-brace 1st Row 1st Column i partial-differential Subscript t Baseline u plus-or-minus left-parenthesis m squared minus normal upper Delta right-parenthesis Superscript 1 slash 2 Baseline u equals lamda StartAbsoluteValue u EndAbsoluteValue Superscript p Baseline comma 2nd Column a m p semicolon left-parenthesis t comma x right-parenthesis element-of left-bracket 0 comma upper T right-parenthesis times double-struck upper R Superscript d Baseline comma 2nd Row 1st Column u left-parenthesis 0 comma x right-parenthesis equals u 0 left-parenthesis x right-parenthesis comma 2nd Column a m p semicolon x element-of double-struck upper R Superscript d Baseline comma EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mtable columnalign="left left" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"/> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation} \left \{ \begin {array}{ll} i\partial _t u \pm (m^2-\Delta )^{1/2} u = \lambda |u|^{p}, &amp; (t,x)\in [0,T)\times \mathbb {R}^d, \\ u(0,x)=u_0(x), &amp; x \in \mathbb {R}^d, \end{array} \right . \notag \end{equation}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m greater-than-or-equal-to 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">m\geq 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda element-of double-struck upper C minus StartSet 0 EndSet"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="MJX-variant">∖</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda \in \mathbb {C} \setminus \{ 0\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d element-of double-struck upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d\in \mathbb {N}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T&gt;0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="partial-differential Subscript t Baseline equals partial-differential slash partial-differential t"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\partial _t=\partial /\partial t</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Here <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis m squared minus normal upper Delta right-parenthesis Superscript 1 slash 2 Baseline colon equals script upper F Superscript negative 1 Baseline left-parenthesis m squared plus StartAbsoluteValue xi EndAbsoluteValue squared right-parenthesis Superscript 1 slash 2 Baseline script upper F"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>:=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(m^2-\Delta )^{1/2}:=\mathcal {F}^{-1} (m^2+|\xi |^2 )^{1/2} \mathcal {F}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>,