Small solutions to nonlinear Schrödinger equations

Abstract

It is shown that the initial value problem for the nonlinear Schrödinger equations ∂_{t}u = i\mathrm{\Delta }u + \mathrm{P}(u,\:\nabla _{x}u,\:\bar u,\:\nabla _{x}\bar u),\:\:t \in ℝ,\:x \in ℝ^{n}, where Ρ (.) is a polynomial having no constant or linear terms, is locally well posed for a class of “small” data u_0 . The main ingredients in the proof are new estimates describing the smoothing effect of Kato type for the group \left\{e^{it\mathrm{\Delta }}\right\}_{−∞}^{∞} . This method extends to systems and other dispersive models. Résumé On montre que le problème de Cauchy pour l’équation de Schrödinger non linéaire ∂_{t}u = i\mathrm{\Delta }u + \mathrm{P}(u,\:\nabla _{x}u,\:\bar u,\:\nabla _{x}\bar u),\:\:t \in ℝ,\:x \in ℝ^{n}, où P (.) est un polynôme sans termes constants ou linéaires, est bien posé pour une classe de « petites » données u_0 . Les ingrédients principaux de la démonstration sont des nouvelles estimations qui décrivent l’effet régularisant de type de Kato pour le groupe \left\{e^{it\mathrm{\Delta }}\right\} . La méthode admet des extensions aux systèmes et aux autres modèles dispersifs.