On nonhomogeneous elliptic equations involving critical Sobolev exponent

Abstract

Let p = \frac{2\:\mathrm{N}}{\mathrm{N}−2} , \mathrm{N} ≧ 3 be the limiting Sobolev exponent and Ω\subset ℝ^{\mathrm{N}} open bounded set. We show that for f\in H^{−1} satisfying a suitable condition and f ≠ 0 , the Dirichlet problem: \begin{align*} −\mathrm{\Delta }u &= \left|u\right|^{p−2}u + f\:&&\mathrm{on }\:\mathrm{\Omega } \\ u &= 0\:&&\mathrm{on }\:∂\mathrm{\Omega } \end{align*} admits two solutions u_0 and u_1 in \mathrm{H}_{0}^{1}(\mathrm{\Omega }) . Also u_0 ≧ 0 and u_1 ≧ 0 for f ≧ 0 . Notice that, in general, this is not the case if f = 0 ( see [P]). Résumé Soit p = \frac{2\mathrm{N}}{\mathrm{N}−2} l’exposant de Sobolev critique et Ω ⊂ ℝ^{\mathrm{N}} un domaine borné. On montre que si f\in H^{−1} , f ≠ 0 satisfait une certaine condition alors le problème de Dirichlet : ∆u = |u|^{p − 2}u + f dans Ω et u = 0 dans ∂Ω , admet deux solutions u_0 et u_1 dans \mathrm{H}_{0}^{1}(\mathrm{\Omega }) . De plus u_0 ≧ 0 et u_1 ≧ 0 si f ≧ 0 . On remarque que ce n’est pas le cas, en général, si f = 0 ( voir [P]).