Multivariate integration of infinitely many times differentiable functions in weighted Korobov spaces

Abstract

We study multivariate integration for a weighted Korobov space of periodic infinitely many times differentiable functions for which the Fourier coefficients decay exponentially fast. The weights are defined in terms of two non-decreasing sequences <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold a equals left-brace a Subscript i Baseline right-brace"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">a</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbf {a}=\{a_i\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold b equals left-brace b Subscript i Baseline right-brace"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">b</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbf {b}=\{b_i\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of numbers no less than one and a parameter <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="omega element-of left-parenthesis 0 comma 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ω </mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\omega \in (0,1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="e left-parenthesis n comma s right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">e(n,s)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the minimal worst-case error of all algorithms that use <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> function values in the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s"> <mml:semantics> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -variate case. We would like to check conditions on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold a"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">a</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbf {a}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold b"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">b</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbf {b}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="omega"> <mml:semantics> <mml:mi> ω </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\omega</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="e left-parenthesis n comma s right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">e(n,s)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> decays exponentially fast, i.e., for some <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q element-of left-parenthesis 0 comma 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q\in (0,1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p&gt;0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> we have <inline-formula con