Some classes of topological quasi *-algebras

Abstract

The completion <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="ModifyingAbove script upper A With bar left-bracket tau right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo accent="false"> ¯ </mml:mo> </mml:mover> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi> τ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\overline {\mathcal A}[\tau ]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of a locally convex <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="asterisk"> <mml:semantics> <mml:mo> ∗ </mml:mo> <mml:annotation encoding="application/x-tex">*</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -algebra <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper A left-bracket tau right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi> τ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal A[\tau ]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with not jointly continuous multiplication is a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="asterisk"> <mml:semantics> <mml:mo> ∗ </mml:mo> <mml:annotation encoding="application/x-tex">*</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -vector space with partial multiplication <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x y"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">xy</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> defined only for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x"> <mml:semantics> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> or <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="y element-of script upper A 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">y \in {\mathcal A}_{0}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and it is called a topological quasi <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="asterisk"> <mml:semantics> <mml:mo> ∗ </mml:mo> <mml:annotation encoding="application/x-tex">*</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -algebra. In this paper two classes of topological quasi <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="asterisk"> <mml:semantics> <mml:mo> ∗ </mml:mo> <mml:annotation encoding="application/x-tex">*</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -algebras called strict CQ <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="Superscript asterisk"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi/> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">^*</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -algebras and HCQ <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="Superscript asterisk"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi/> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">^*</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -algebras are studied. Roughly speaking, a strict CQ <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="Superscript asterisk"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi/> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">^*</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -algebra (resp. HCQ <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="Superscript asterisk"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi/> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">^*</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math>