An asymptotic expansion for the expected number of real zeros of a random polynomial

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="nu Subscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi> ν </mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\nu _n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the expected number of real zeros of a polynomial of degree <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> whose coefficients are independent random variables, normally distributed with mean 0 and variance 1. We find an asymptotic expansion for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="nu Subscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi> ν </mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\nu _n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of the form <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="nu Subscript n Baseline equals StartFraction 2 Over pi EndFraction log left-parenthesis n plus 1 right-parenthesis plus sigma-summation Underscript p equals 0 Overscript normal infinity Endscripts upper A Subscript p Baseline left-parenthesis n plus 1 right-parenthesis Superscript negative p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi> ν </mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi> π </mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo movablelimits="false"> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:munderover> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\nu _n = \frac {2}{\pi } \log (n + 1) + \sum \limits _{p = 0}^\infty {{A_p}{{(n + 1)}^{ - p}}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> in which <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A 0 equals 0.625735818 comma upper A 1 equals 0 comma upper A 2 equals negative 0.24261274 comma upper A 3 equals 0 comma upper A 4 equals negative 0.08794067 comma upper A 5 equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0.625735818</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>0.24261274</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>0.08794067</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{A_0} = 0.625735818,{A_1} = 0,{A_2} = - 0.24261274,{A_3} = 0,{A_4} = - 0.08794067,{A_5} = 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>